投入产出模型的基本框架就是投入产出表的第一象限2254355，即中间产品流量矩阵。因此，投入产出模型与数值矩阵具有天然的联系。这就使得许多投入产出经济问题都与矩阵理论密切相关。由于中间产品流量矩阵属于非负矩阵，所以，许多投入产出经济问题主要与非负矩阵理论有紧密的关联。

早在20世纪初，著名德国数学家弗罗宾纽斯就创立了非负矩阵的理论2254356，以他的姓氏命名的“弗罗宾纽斯定理”成为非负矩阵领域中众所周知的核心理论。自从美国经济学家里昂惕夫于20世纪30年代后期开创了投入产出模型2254357以来，非负矩阵理论终于在属于非纯粹数学领域的投入产出模型中找到了用武之地，得到了比较充分的发挥和利用。许多投入产出经济学家和数理经济学家都运用非负矩阵理论来分析研究相关的投入产出经济问题，取得了不少投入产出经济学的研究成果。

事实上，经济学和数学是相互依赖、相互促进的。一方面，我们可以利用数学方法来研究解决经济学中的数量关系问题；另一方面，经济学中的一些数量关系问题可以抽象地归纳为某个数学问题。如果该数学问题是数学家们尚未解决的或未涉及的，我们就可以通过这些起源于经济学中的数学问题来研究新的数学理论，如果有所突破，就能既解决了经济学中的数量关系的问题，也发展了数学理论。上述两个方面相比较，后者的工作对于一般的经济学家来说可能是更困难的，因为这需要具备深厚的数学功底。而对于后者来说，具体到投入产出经济学理论与非负矩阵理论之间的关系，直到20世纪末，笔者未发现非负矩阵中与投入产出模型直接有关的一些理论在对投入产出模型应用过程中得到进一步改进或发展，即在利用经济学来发展数学这方面，似乎没有取得什么重要的进展。

当人类进入到21世纪以后，笔者从2001—2014年在线性代数与矩阵理论领域内的国际顶级学术期刊和投入产出分析与数理经济学领域内的国际权威学术期刊上独立发表了五篇研究论文2254358，并被多次引用。这些研究成果不仅发展了投入产出经济学理论，而且改进或发展了矩阵与行列式的理论，使得投入产出经济学理论和矩阵理论融合得更加紧密。这些成果的取得，就是起源于对某些投入产出经济问题的深入研究，将这些问题抽象归纳为某些数学问题，而这些数学问题又是数学家们尚未解决的或未涉及的，因而需要做创新性的数学研究。这些成果的推出不仅对于人们更加深刻地认识投入产出模型的内在机理或基本属性具有重要的意义，而且对于人们更加深刻地认识与投入产出模型相关的矩阵与行列式的理论也具有重要的意义。由于上述成果的创新性，笔者因此荣获了第十四届孙冶方经济科学奖和第七届中国社会科学院优秀科研成果奖等奖项。

在上述五篇研究论文的基础之上，笔者又对其进行了全面、系统的梳理，归纳总结，并补充了一些新内容，从而形成了本书。与那五篇研究论文相比，本书更全面、系统地论述了投入产出经济学理论与矩阵理论之间关系及其新进展。

本书共分为四章。第一章和第三章属于数学部分，论述了与投入产出模型相关的矩阵与行列式的新理论。第二章和第四章属于投入产出经济学部分，第一章和第三章中的内容在这里得到了充分的发挥与利用，从而使投入产出经济学理论与矩阵理论得到了充分的融合，两者之间的关系更加紧密。

第一章论述了非负矩阵谱理论的新进展。以引理1.1为基础，详细地推导出了非负矩阵拥有一个唯一正的特征向量的充分必要条件。该条件虽然是前人已有的结果，但通过引理1.1的推导过程，笔者首次发现了当非负矩阵可约时，上述唯一正的特征向量是以一个基本特征子向量为基础的，上述唯一正的特征向量的每个剩余分量都是基本特征子向量的分量的线性函数，并推导出了相应的解析式，这些结果是前人没有发现的。这些新结果的推出不仅对于人们更加深刻地认识非负矩阵的谱性质具有重要意义，而且可以扩大非负矩阵谱理论的应用深度和广度。例如，在接下来的有一个正的特征向量的非负矩阵的谱性质的分析中，以及在迭代矩阵的谱性质的分析中都用到了上述新结果。在论述非负矩阵与对应的非奇异M矩阵的逆矩阵的关系时，首次提出了可约的非负矩阵对应于（非）初始类的分块列指标集和对应于（非）最终类的分块行指标集的新概念，从而全面、精确地揭示了任意一个非负矩阵与对应的非奇异M矩阵的逆矩阵之间的关系。本章中提出的非负矩阵新的谱理论为后面的章节打下了坚实的数学基础。

第二章给出了非负矩阵新的谱理论在投入产出分析中的应用部分，它充分展示了非负矩阵谱理论与投入产出经济学理论之间的紧密关系。

在第二章第一节中，推导出了里昂惕夫动态投入产出模型的平衡增长解存在且唯一的充分必要条件，并清晰地给出了该条件的经济解释，与前人的有关成果相比较，这些新成果明显地发展了里昂惕夫动态投入产出模型的理论。

与第二章第一节相对偶，在第二章第二节中，推导出了生产价格存在且唯一的充分必要条件及其清晰的经济解释。

综合前两节的结果，在第二章第三节中，推导出了生产价格与平衡增长解同时存在且唯一的充分必要条件及其清晰的经济解释。

在第二章第四节和第五节中，首次建立了实物型产量调整模型，并推出了产量调整模型和价格调整模型的基本性质。这两个相互对偶的模型是分析产量变动和价格变动对经济系统影响的基本工具。

在第二章第六节中，利用中间产出系数矩阵、高士逆矩阵、价值型中间投入系数矩阵、价值型里昂惕夫逆矩阵、最终产出率对角矩阵和增加价值率对角矩阵，把这六种矩阵进行适当的组合，首次系统地提出了十二种谱半径都等于1的特殊的半正矩阵，推导出了它们的基本性质，并对其中四种半正矩阵的经济含义做出了精确的分析和解释。在这十二种特殊的半正矩阵中，只有第五种是前人曾提到过的所谓“增加价值乘数”矩阵，而笔者在这里给出了该矩阵的更全面且更精确的经济解释和称谓。这十二种特殊的半正矩阵被应用于后面的理论分析中。

在第二章第七节中，首次对最终产出率、投入乘数、增加价值率和产出乘数这四项指标给出了明确的经济含义，指出了最终产出率和增加价值率越高，对经济系统越有利；投入乘数和产出乘数越小，对经济系统越有利。

在第二章第八节中，分析了产量变动对中间产出系数矩阵的影响和价格变动对价值型中间投入系数矩阵的影响。

在第二章第九节中，分析了产量变动对最终产出率和投入乘数的影响以及价格变动对增加价值率和产出乘数的影响。

在中间产出（或投入）系数矩阵至少有一个非最终类（或非初始类）的条件下，在第二章第十节中，笔者首次提出了最终产出率和投入乘数的帕累托改进的新概念以及增加价值率和产出乘数的帕累托改进的新概念，并给出了这两种帕累托改进的具体方法，前者是通过调整产出系统来实现的，后者是通过调整价格系统来实现的。

在第二章第十一节中，推导出了最终产出率和投入乘数以及增加价值率和产出乘数这四种经济指标中的每一种在各个部门中的一致性的条件。

在第二章第十二节中，首次提出了经济系统中的两种平衡的新概念，分析了这两种平衡的经济含义。这两种平衡就是最终产值与增加价值之间的平衡，以及投入乘数（或称供给乘数）与产出乘数（或称需求乘数）之间的平衡。还推导出了上述两种平衡状态发生的一个充分条件，推导出了上述两种平衡状态发生的一个必要条件，分别推出了上述两种平衡状态发生的若干个充分必要条件。

最后，在第二章第十三节中，对非负矩阵谱理论在产量调整模型和价格调整模型中的应用进行了全面的概括总结。

第三章推出了关于矩阵与行列式的一些新结果。在第三章第一节中，通过定理3.1可以发现，由一个n阶矩阵的任意一个二阶子式按一定规则所构成的n-1阶行列式与该n阶矩阵的行列式之间的数量关系。引理3.1给出了由一个n阶矩阵的任意4个元素的代数余子式按一定规则构成的二阶行列式与那4个元素构成的二阶矩阵的代数余子式和该n阶矩阵的行列式之间的数量关系。这些新结果为后面的分析与论证奠定了基础。在第三章第二节中，尽管前人已经建立了类似于定理3.2的关于逆矩阵的扰动理论，但笔者在这里建立的有关公式在形式上与前人略有不同，证明方法也不同。在第三章第三节中，首次建立了任意一个矩阵的逆与该矩阵的余子矩阵的逆之间的关系，这个新结果是非常重要的，若没有它，第四章中的许多结果就无法得出。总之，本章中推出的矩阵与行列式的新理论为后面的第四章打下了坚实的数学基础。

第四章运用第三章中得到的矩阵与行列式的新结果，论述了投入产出模型的比较静态分析的有关理论。在第四章第一节和第二节中，分别分析了中间投入系数矩阵变动对里昂惕夫逆矩阵和产出乘数的影响规律。在第四章第三节中，分析了中间产出系数矩阵变动对投入产出乘数的影响规律。在第四章第四节中，给出了里昂惕夫逆矩阵和高士逆矩阵的重要性质，该性质表明了里昂惕夫逆矩阵和高士逆矩阵中的任意二阶子矩阵的行列式所具有的重要特征，这个新结果在投入产出模型的比较静态分析中发挥了非常重要的作用，若没有它，许多关于投入产出模型的比较静态分析的结果就无法正确地得出，它还可用于识别关于投入产出模型的关键部门群组。在第四章第五节中，分析了最终需求和中间投入系数变动对总产出及其结构的影响规律。在第四章第六节中，分析了增加价值系数和中间投入系数变动对价格的影响规律。